Ситуация которую вы описали в вопросе, это явно НЕТ ВЫКЛЮЧЕНИЯ сцепления (по умолчанию — сцепление на автомобиле всегда включено).
«При заглушённом двигателе проблем с переключением нет» — это означает, что коробка передач в порядке и привод переключения передач исправен.
Если жидкость не вытекает и не завоздушена система. Тогда остаются варианты: не работает ГЦС (главный цилиндр сцепления); не работает рабочий цилиндр сцепления; сломана вилка сцепления.
Чтобы проверить работает ли ГЦС и РЦС, надо заглянуть снизу, помощник понажимает педаль сцепления, смотрите двигается ли шток на рабочем цилиндре, и выдвигается ли на полную длину. Если оба цилиндра работают, тогда проблема глубже — вилка погнулась или сломалась, может лепестки сломались на корзине сцепления.