Если вы правильно описали ситуацию в вопросе, и вибрация возникает только в движении, значит она связана с ходовой частью. Если бы виноват был двигатель или его крепёж, то была бы вибрация при работе мотора на месте, на ХХ или при изменении оборотов.
Жаль что вы не написали какой привод на вашем авто, и не написали при какой скорости возникает вибрация. Если 4wd, тогда допустим, мог быть погнут карданный вал.
Другие причины: износ сайлент-блоков, разболтаны ступичные подшипники, шаровые опоры, рулевые наконечники.
Бывает когда у колёса (или колёс) большой люфт, то проявляется эффект «шимми», при определённой скорости и состояния дороги, то есть оно может проявляться иногда, примерно как вы описали.
Проверяйте люфт колёс, износ ходовой части самостоятельно или в автосервис на диагностику.
Да, коробка механика, зимой меняли масло и рулевую рейку
Когда появляется, зафиксируйте скорость авто, какая передача, состояние дороги, обороты двигателя. И бьёт руль или нет?