Может ли глохнуть из-за генератора ВАЗ 2111?

Инжектор? Может. Напряжение падает ниже 10-ти вольт и мотор отключается.

А батарея для чего? Аккумулятор будет давать продолжать энергию для работы свечей зажигания и для других датчиков — до дома доедете. Иногда человек и не знает, что генератор вышел из строя (лопнул ремень или ещё что-то), продолжает ехать и ехать. Останавливается, запускает мотор и опять едет, до тех пор пока не увидит наконец, что и фары тускло светят и индикатор аккумулятора горит на щитке приборов.

Бывало и у самого случай, когда генератор отказал и аккумулятор дохлый. Для стартера уже не хватало энергии, но с буксира запустился мотор и доехал до дома.

Но если батарея сдохнет настолько, что в ней будет меньше 12-ти вольт, то это уже действительно мотор может уже и не работать с низким напряжением, его бортовая сеть рассчитана на 12-14 вольт. Резкое падение напряжения батареи меньше 12 вольт может быть только из-за внутреннего замыкания пластин в аккумуляторе. Ну или из-за явного замыкания снаружи (например положить на аккумулятор большой слесарный ключ или монтажку и замкнуть его клеммы).