Может ли из-за зимней резины рыскать машина, Шкода Фелиция?

Да нет. Что же тогда будет на гололеде? Её же не словишь. Вот если резина поведенная или диск кривой, тогда возможно. И не обязательно люфт должен быть в рулевой, нужно проверять все узлы, сайлентблоки и шаровые, не болтается ли стойка.

Попробуйте задние с передними местами поменять, но сначала проверьте давление. Вообще кривизна резины это весьма частая неисправность.